Metriskās telpas pilnīgumu nav saglabājis homeomorfisms.
Ko saglabā homeomorfisms?
Homeomorfisms, ko sauc arī par nepārtrauktu transformāciju, ir ekvivalences sakarība un viena pret vienu atbilstība starp punktiem divās ģeometriskās figūrās vai topoloģiskās telpās, kas ir nepārtraukta abos virzienos. Homeomorfismu, kas saglabā arī attālumus, sauc par izometriju.
Vai homeomorfisms saglabā kompaktumu?
3.3 Kompaktu telpu īpašības
Mēs jau iepriekš atzīmējām, ka kompaktums ir atstarpes topoloģiskā īpašība, proti, to saglabā homeomorfisms. Vēl vairāk, to saglabā jebkura nepārtraukta funkcija.
Vai pilnīgums ir topoloģiska īpašība?
Pilnīgums nav topoloģiskā īpašība, t.i., nevar secināt, vai metriskā telpa ir pilnīga, tikai aplūkojot pamatā esošo topoloģisko telpu.
Kāpēc ierobežotība nav topoloģiskā īpašība?
Metriskajām telpām mums ir ierobežotības jēdziens: tas ir, metriskā telpa ir ierobežota, ja ir kāds reāls skaitlis M tā, ka d(x, y) ≤ M visiem x, y. Ierobežotība nav topoloģiska īpašība. Piemēram, (0, 1) un (1, ∞) ir homeomorfi, bet viens ir ierobežots, bet viens nav. ∞ n=1 ir punktu secība X.
