Pirmā teorēma, ko Pugs pierāda, kad viņš ir definējis Rīmaņa integrāli, ir tāda, ka integrējamība nozīmē ierobežotību. Šī ir 15. teorēma manā izdevuma 155. lappusē. Tas liecina, ka vispirms ir jāvienojas par definīcijām.
Vai Rīmaņa integrējamais nozīmē ierobežotu?
4. teorēma. Katra Rīmaņa integrējamā funkcija ir ierobežota.
Vai neierobežotas funkcijas ir integrējamas?
Neierobežota funkcija nav Rīmaņa integrējama. Tālāk tekstā “integrējams” nozīmēs “Riemana integrējams”, un “integrāls” nozīmēs “Riemana integrāls”, ja vien nav skaidri norādīts citādi. f(x)={ 1/x, ja 0 < x ≤ 1, 0 ja x=0. tātad f augšējās Rīmaņa summas nav precīzi noteiktas.
Vai Lēbesga integrējamā funkcija ir ierobežota?
Izmērāmās funkcijas, kas ir ierobežotas, ir līdzvērtīgas Lēbesga integrējamām funkcijām. Ja f ir ierobežota funkcija, kas definēta uz izmērāmas kopas E ar ierobežotu mēru. Tad f ir izmērāms tad un tikai tad, ja f ir Lēbesga integrējams. … No otras puses, izmērāmās funkcijas ir "gandrīz" nepārtrauktas.
Kā zināt, vai funkcija ir integrējama Lēbesgā?
Ja f, g ir tādas funkcijas, ka f=g gandrīz visur, tad f ir integrējams Lēbegs tad un tikai tad, ja g ir integrējams Lēbegs, un f un g integrāļi ir tas pats, ja tie pastāv.
