Piezīme: tā ir taisnība, ka katra ierobežotā secība satur konverģentu apakšsekvenci, un turklāt katra monotoniskā secība saplūst tad un tikai tad, ja tā ir ierobežota. Pievienots Skatiet ierakstu par monotonu konverģences teorēmu, lai iegūtu papildinformāciju par ierobežotu monotonu secību garantēto konverģenci.
Vai katra ierobežotā secība saplūst R?
Teorēma nosaka, ka katra ierobežotā secība R ir konverģenta apakšsecība. Līdzvērtīgs formulējums ir R apakškopa ir secīgi kompakts tad un tikai tad, ja tas ir aizvērts un ierobežots. Teorēmu dažreiz sauc par secīgu kompaktuma teorēmu.
Vai katra ierobežotā reālo skaitļu secība ir konverģenta?
Atbilde un skaidrojums: (a) Vai katra ierobežotā secība ir konverģenta? Nē.
Vai katra ierobežotā monotoniskā secība saplūst?
Ne visas ierobežotās secības, piemēram, (-1)n, konverģē, bet, ja mēs zinātu, ka ierobežotā secība ir monotona, tas mainītos. ja an ≥ an+1 visiem n ∈ N. Secība ir monotona, ja tā vai nu palielinās, vai samazinās. un ierobežots, tad tas saplūst.
Vai visām ierobežotajām sekvencēm ir konverģenta apakšsecība?
Bolcāno-Veijerštrāsa teorēma: Katrai ierobežotai secībai Rn ir konverģenta apakšsecība. no {xmk } ir ierobežota reālu skaitļu secība, tāpēc arī tai ir konverģenta apakšsecība,… Un otrādi, katra ierobežotā secība atrodasslēgta un ierobežota kopa, tāpēc tai ir konverģenta apakšsecība.
